المصفوفات وامثلة عليها

تعريف المصفوفة

هي مجموعة ذات شكل مستطيل تتألف من مجموعة (أرقام، أو رموز، أو عبارات)؛ ويُطلق عليها اسم الإدخالات أو العناصر، وجميعها مرتبة في صفوف، وأعمدة، وتنقسم إلى قسمين الأولى الحقيقية، والأخرى هي المعقدة، وعناصرها هي الأرقام الحقيقيّة، والأعداد المركبة، وينقسم شكل المصفوفة إلى خطوط أفقية، وأخرى عمودية

لديها تاريخ طويل في حل المعادلات الخطية، وكانت تُعرف قديماً منذ ظهورها عام 1800 م باسم صفائف، وانتشرت بعد ذلك إلى الصين، ودول أوروبا، ودول العالم أجمع عبر العلماء.

انواع المصفوفات

المصفوفة الصفرية

‏ هي مصفوفة جميع مداخلها مساوية للصفر.

                          

 

 

 

 

مصفوفة الوحدة

هي المصفوفة المربعة التي عناصرها القطرية تساوي واحد وبقية العناصر كلها اصفار ويرمز لها بالرمز In حيث ( n ) مرتبة المصفوفة

                          

 

المصفوفة القطرية

هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها اصفاراً عدا عناصرها القطرية تساوي كميات

                          

 

 

 

 

 

 

 

 

العمليات الحسابية علي المصفوفات

الجمع

هي عملية تأخذ مصفوفتين اثنتين مدخلا لها، وتعطي مصفوفة ثالثة عناصرها هن مجموع العناصر من هذين المصفوفتين واحدا واحدا.

لكي يمكن جمع مصفوفتين اثنتين، ينبغي أن يكون لهذين المصفوفتين نفس عدد الأسطر ونفس عدد الأعمدة. المصفوفة الناتجة عن الجمع لها أيضا نفس عدد الأسطر ونفس عدد الأعمدة.

في المثال أعلاه، عدد أسطر المصفوفتين اللتان استُعملتا في عملية الجمع هو ثلاثة وعدد الأعمدة اثنان. والنتيجة هي مصفوفة عدد اسطرها ثلاثة وعدد أعمدتها اثنان.

هذا الجمع بسيط. ينبعي التمييز بينه وبين نوعين أخرين من الجمع اللذان يطبقان على مصفوفتين ما، هما الجمع المباشر وجمع كرونكر نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني ليوبلد كرونكر.

هي عملية حسابية بالغة الاهمية في نظرية المصفوفات حيث انها العملية الثنائية في الزمرة {\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {R} )}، كما ان هذه العملية مهمة في علوم الحاسوب إضافة إلى اهميتها في الرياضيات لانها اساس نظريات مهمة مثل ايجاد القيم الذاتية للمصفوفات، كما أنَّ جمع المصفوفات يرتكز عليه ايجاد قاعدة للفضاءات الجبرية

على سبيل المثال:

 

الطرح

لتكن A , B    مصفوفتين كلا منهما من الشكل m×n  ,  فإن الفرق بينهما  A-B=A+(-B)  , حيث (-B)  نظير المصفوفة B

مثال

 

 

 

 

الضرب

هي عملية ثنائية تأخذ مصفوفتين اثنتين مدخلا لها وتعطي مصفوفة ثالثة.^[1] عناصر هذين المصفوفتين ينتمين إلى حقل، أو بصفة عامة إلى حلقة أو حتى إلى نصف حلقة

ضرب مصفوفة في عدد ما لا يدخل في إطار ضرب المصفوفات. ضرب مصفوفة في عدد ما يعطي مصفوفة لها نفس أبعاد المصفوفة الأصلية حيث مداخلها تساوي مداخل المصفوفة الأصلية مضروبة في ذلك العدد

 

ايجاد معكوس المصفوفة

هو المعكوس الضربى لها حيث يساوي حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها مصفوفة الوحدة

 

 

 

 

حل معادلات خطية في ثلاث مجاهيل باستخدام المصفوفة

مثال

س+ص+ع = 6،           2ص+5ع = -4،                      2س+5ص-ع = 27؟
الحل:

يتم وضع جميع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، وجميع الثوابت في المصفوفة ب، والمتغيرات في المصفوفة س، مع ملاحظة أنه لا توجد قيمة لمعامل التغير س في المعادلة الثانية، وبالتالي يتم وضع صفر في مكان معامل المتغير، وذلك كما يلي: المصفوفة أ: يتم وضع معاملات المتغير في الثلاثة معادلات في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، ومعاملات المتغير ع في العمود الثالث، وذلك كما يلي:

| +1 +1 +1 |

 |صـفر +2 +5|

| +2 +5 −1 |
المصفوفة س: يتم وضع المتغيرات س، وص، وع في هذه المصفوفة، وذلك كما يلي:
|س|

|ص|

 | ع |

 

المصفوفة ب: يتم وضع قيم الثوابت في هذه المصفوفة، وذلك كما يلي:

| +6 |

 | −4 |

 |+27|

تطبيق العلاقة: المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:

| +1 + 1 +1 | |س| =| +6 |

|صـفر +2 +5 | |ص| =| −4 |

| +2 + 5 −1 | | ع | =|+27|

إيجاد معكوس المصفوفة أ، ويساوي 1/21- × المصفوفة الآتية:

|−27 +6 +3 |

 |+10 −3 −5 |

 | −4 − 3 +2 |

 

 

 

ضرب طرفي المعادلة بمعكوس المصفوفة أ، وتبسيط الحل لينتج ما يأتي:

 |س| = |+5|

|ص| = |+3|

| ع | = |−2|

وبالتالي فإن قيمة كل

س= 5                      ص= 3                       ع= -2

مثال

ما هو حل المعادلات الآتية:

س+ص+ع = 3،         س+2ص+3ع = 0،           س+3ص+2ع = 3

باستخدام طريقة الحذف

الحل:

 وضع معاملات المتغير س في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، ومعاملات المتغير ع في العمود الثالث، والثوابت في العمود الرابع لتنتج المصفوفة الآتية:

 | +1 +1 +1 : + 3 |

| +1 +2 +3 : صـفر|

| +1 +3 +2 : + 3 |

استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

 | أ ب جــــ : د |

 صف (1) | 0 ي ف: ق | صف (2) | 0 0 هـــ : و | صف (3) لتحقيق ذلك يجب

 طرح قيمة كل عنصر في الصف الثاني من الصف الأول، ووضع قيمتها في الصف الثاني، لتنتج المصفوفة الآتية:

| + 1 +1 +1 : +3 |

|صـفر +1 +2 : −3 |

| + 1 +3 +2 : +3 |

طرح قيمة كل عنصر في الصف الثالث من الصف الأول، ووضع قيمته في الصف الثالث، وذلك كما يلي:

| + 1 +1 +1 : + 3 |

|صـــفر +1 +2: − 3 |

|صـفر +2 +1: صـفر |

ضرب كل عنصر في الصف الثاني بالعدد 2، ثم طرح قيمة كل عنصر في الصف الثاني من الصف الثالث، ووضع قيمته في الصف الثالث،

 | + 1 +1 +1 : + 3 |

 |صـفر +1 +2 : − 3 |

|صفر صفر −3 : +6 |

 

 

من المصفوفة السابقة يتشكل لدينا ثلاثة معادلات، وهي:

 س+ص+ع = 3، ص+2ع = -3، -3ع = 6.

 وبالتالي فإن ع = -2.

 بتعويض قيمة ع في المعادلة الثانية

فإن ص = 1.

بتعويض قيمة ع، وص في المعادلة الأولى

فإن س = 4.